Прямые являются пересекающимися, если они лежат одной плоскости и имеют одну общую точку.
Прямые являются параллельными если они лежат одной и не пересекаются;
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Как пересекающиеся прямые, так и параллельные прямые лежат одной плоскости
Свойства параллельных прямых
1 свойство: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
2 свойство: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Определение. Две прямые называются
скрещивающимися, если они не лежат
в одной плоскости.
Прямая АА1 и DC являются
скрещивающимися прямыми (АА1 ∸ DC)
Признак скрещивающихся прямых.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Задача 1.Точки А и В – середины ребер параллелепипеда.
Определите взаимное расположение прямых и a и b.
Задача 2.Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда.
Найдите параллельные прямые.
Задача 4.Определите взаимное расположение прямых и a и b.
Задача 5
Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые па¬раллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, а1 и b1 — параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а1 и b1 перпендикулярны.
Если прямые а, b, а1, b1лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плос¬кости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α, a прямые а1 и b1— в некоторой плоскости α1(рис. 350). По теореме 16.4 плоскости α и α1 параллельны. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, а С1 — точка пересечения прямых а1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых а и а1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые а и а1 в точках А и А1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через В и В1 точки ее пересечения с прямыми b и. b1.
Четырехугольники САА1С1 и СВВ1С1 — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ1А1 также параллелограмм. У него стороны АА1, ВВ1 параллельны, потому что каждая из них параллель¬на прямой СС1. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА1 и ВВ1. А она пересекает параллельные плоскости α и α1 по па-раллельным прямым АВ и А1В1.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1. По третьему при¬знаку равенства треугольников треугольники ABC и А1В1С1 равны. Итак, угол А1С1В1, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а1 и b1 перпендикулярны. Теорема доказана.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендику¬лярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения (рис. 352).
Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а — прямая, перпендикулярная прямым b и с в плоскости α. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и с (рис. 353). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости α.
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X.
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны рав¬ные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). По той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ, А2ВХ и, следовательно, равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.
Свойства:
Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а1 и а2 — две параллельные прямые и α — плоскость, перпендикулярная прямой а1 (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.
Проведем через точку А2. пересечения прямой а2 с плос¬костью α произвольную прямую х2 в плоскости α. Прове¬дем в плоскости α через точку А1 пересечения прямой а1 с а прямую х 1, параллельную прямой х 2. Так как прямая а1 пер¬пендикулярна плоскости α, то прямые a1 и х 1 перпендикуляр¬ны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, пря¬мая а2 перпендикулярна любой прямой х 2 в плоскости α. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.
Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а и b — две прямые, перпендикулярные плоскости α (рис. 360). Допустим, что прямые а и b не параллельны.
Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости α. Про¬ведем через точку С прямую b параллельную прямой а. Прямая b’ перпендикулярна плоскости α (теорема 17.3). Пусть В и В’ — точки пересечения прямых b и b с плоскостью α. Тогда прямая ВВ’ перпендикулярна пересекающимся прямым b и b’. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Тео¬рема доказана.
Доказательство. Пусть а и b — две прямые, перпендикулярные плоскости α (рис. 360). Допустим, что прямые а и b не параллельны.
Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости α. Про¬ведем через точку С прямую b параллельную прямой а. Прямая b’ перпендикулярна плоскости α (теорема 17.3). Пусть В и В’ — точки пересечения прямых b и b с плоскостью α. Тогда прямая ВВ’ перпендикулярна пересекающимся прямым b и b’. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Перпендикуляр и наклонная
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке 361 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость α.
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема 17.5. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плос¬кости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, про¬ходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую СА’, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости α. Проведем через прямые АВ и А’С плоскость . Прямая с перпендикулярна прямой СА’. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС.
Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА то она, будучи перпендикулярна и прямой СА’, перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, про¬ходящих через эти прямые.
Действительно, пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые (рис. 368). Проведем через них параллельные плоскости α и . Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости α, лежат в одной плоскости . Эта плоскость пересекает плоскость по прямой а’, параллельной а. Пусть В — точка пересечения прямых а’ и b. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости α, перпендикулярна и плоскости так как параллельна α. Отрезок АВ — общий перпеникуляр плоскостей α и , а значит, и прямых а и b.
Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых а и b есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую b’, параллельную b. Прямая CD перпендикулярна прямой b, а значит, и b’. Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикуляр¬на плоскости α, а значит, параллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АВ и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и ДО, а это невозможно, что и требовалось доказать.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Движения в пространстве.
Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия):
Определение. Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.
Свойства: при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости; сохраняются углы между полупрямыми.
Две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
В качестве примера движения пространства на данном этапе изучения стереометрии можно привести преобразование центральной симметрии, доказав координатным способом, что при этой симметрии сохраняются расстояния между точками.
Введем понятие симметрии относительно плоскости:
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости , называется симметрией пространства относительно плоскости . Плоскость называется плоскостью симметрии.
Примеры симметрии относительно плоскости:
Параллельный перенос:
Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка отображается на такую точку , что выполняется векторное равенство . Это перенос (движение) всех точек пространства в одном и том же направлении, на одно и то же расстояние
Если плоскость (прямая) не параллельна вектору переноса, то при переносе на этот вектор она отображается на параллельную ей плоскость (прямую).
Примеры параллельного переноса:
Осевая симметрия:
Определение. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
В отличие от гомотетии, геометрические преобразования — центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос являются движением, т.к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.
Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).
В орнаментах (на рисунке фракталы) можно видеть бесконечное множество подобных фигур, но обычно они не гомотетичны, т.к. у них невозможно определить центр гомотетии.
Задача 1. Можно ли взаимно-однозначно отобразить: а) поверхность куба на поверхность другого куба; б) поверхность куба на сферу; Сделайте соответствующие рисунки.
Решение. а) Достаточно кубы расположить так, чтобы совпали их центры, а грани одного были параллельны граням другого. Тогда поверхность одного куба взаимно-однозначно отображается на поверхность другого куба посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении одного квадрата на другой посредством центрального проектирования.)
б) Достаточно центр сферы совместить с центром куба, тогда поверхность куба взаимно-однозначно отображается на сферу посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении квадрата — замкнутой ломаной — на окружность посредством центрального проектирования.)
Задача 2. Нарисуйте треугольную пирамиду, имеющую две плоскости симметрии.
Оставить комментарий