Общая характеристика матрицы
Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.
В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:
Θ — нулевая
D — диагональная
E — единичная
Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получится матрица Ат , которую называют транспонированной матрицей А.
Пример:
Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.
Действия над матрицами
Умножение матрицы на число. Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.
Сложение матриц. Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.
Умножение матриц
Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:
где l — число строк второй и число столбцов первой матриц.
Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!
Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами!!! — результат умножения будет другим
Обратная матрица
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,…Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу А-1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ:
Определитель матрицы
Для любой квадратной матрицы может быть найдена величина, называемая определителем.
Определитель — это квадратная таблица чисел или математических символов (Δd).
Решение:
Свойства определителей
Свойство 1.
Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими
столбцами и наоборот.
Свойство 2.
При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель
изменяет знак.
Свойство 3.
Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).
Свойство 4.
Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак
определителя.
Свойство 5.
Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие
элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.
Следствие из свойств 32.4 и 32.5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.
Свойство 6.
Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на
алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки или столбца
равна нулю.
Пример. Вычислить определитель, используя свойства:
Решение:
1. Третью строку умножим на подходящие множители и прибавим к остальным:
Получим:
Метод Крамера
Решение систем уравнений
Пусть имеется система уравнений:
Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δj определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,…n).
Теорема. Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:
Оставить комментарий