Тема 2.6.2 «Метод золотого сечения»

Деление отрезка именно пополам (для отыскания минимума функции) представляется естественным, но явно не единственным путем решения задачи. Интуитивно ясно, что если последовательно делить отрезок на две части другим способом, то можно достичь того же результата. Возникает вопрос: какой способ деления отрезка наиболее эффективен для поиска минимума унимодальной функции? В связи с этим вопросом возникает метод так называемого золотого сечения.

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на части, при котором весь отрезок относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; другими слова ми, меньший отрезок относится к большему, как больший ко всему (рис. 7.5) β: γ= γ :α.

Из приведенною ранее соотношения получаем уравнение для определения γ (считая αзаданным): γ ² = αβ, или γ ² = α (α — γ). Решение последнего уравнения:

Обратим внимание, что заданный отрезок [а; b] можно разделить на две части в соответствии с золотым сечением двумя способами: располагая меньший отрезок слева (см. рис. 7.5) или справа, т.е. на отрезке есть две точки золотого сечения.Считается, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, хотя следы его использования находят в строениях, сделанных  до жизни Пифагора,египетских пирамидах, храмах разных народов и т.д.

Многие художники, архитекторы, конструкторы более поздних эпох (начиная с Леонардо да Винчи) использовали эту пропор­цию в своих произведениях, придавая ей порой мистическое значение. Это сыграло свою роль и в математике.

Вернемся к решению задачи о минимизации унимодальной на отрезке [а; b] функции f(х). Найдем обе точки золотого сечения: левую

и симметричную ей правую

Сравним значения f(х) в этих точках. Если окажется, что f(с) >f(d), то новый отрезок для поиска минимума есть [с; b]. если же f(c)<f(d), то новый отрезок [а; d] (см. рис. 7.6).

Допустим для определенности, что ситуация такова, как на рис. 7.6 слева, т.е. на втором шаге минимум ищется на отрезке [с; b]. Продолжим использовать тот же прием: выполним золотое сечение этого отрезка.

Рис. К выбору отрезка для поиска минимума функции на втором шаге

Следующее утверждение является причиной эффективности этого метода в решении задачи минимизации: одна из двух точек нового сечения — уже известная нам точка d. Действительно, найдем левую точку золотого сечения отрезка [с; b], для чего надо в формуле заменить a на с:

Таким образом, полученное значение действительно есть d, определяемое формулой. Благодаря указанному обстоятельству метод золотого сечения при минимизации унимодальной функции более экономичен, чем метод дихотомии: в последнем на каждом шаге вычисляется значение функции f(х) в двух точках, а в методе золотого сечения лишь в одной (кроме первого шага, на котором ищутся значения функции в двух точках золотого сечения).