Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у’)=0 или у’=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у’=f(x,y).
- Метод Эйлера.
Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул
- вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)
- вариант 2 (графический)
| y1=y0+f(x0,y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi,yi) | |
| k1=h*f(xi,yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h | Аналогично варианту 1 |
Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.
- Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).
уi+1=уi+hf(xi+h/2, yi+hf(xi,yi)/2),
xi+1=xi+h.
- Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).
уi+1=уi+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],
xi+1=xi+h.
- Метод Рунге-Кутта третьего порядка.
уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,
k1=hf(xi, yi),
k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),
k3=hf(xi+h, yi+2k2-k1),
xi+1=xi+h.
- Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,
k1=hf(xi,yi),
k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),
k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),
k4=hf(xi+h, yi+k3),
xi+1=xi+h,
где уi+1,уi — значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h — шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.
Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить значение функции при xk=1, h=1.
Решение задачи приведено в таблице.
Оставить комментарий