Тема 10. «Системы линейных уравнений»

1. Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

                                a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂     +… + a_1n x_n = b₁,

                                a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂    +… + a_2n x_n = b₂,                           ( 1)

                                         …     …     …     …

                                a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +… + a_mn x_n = b_m.

где A = (а_{i j}) — матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,…, x_n)^T,
B = (b₁, b₂,…, b_m)^T — векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,…, c_n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,…, x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,…, c_n)^T такой, что AC º B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е.
r(A) = r(`A) = r.

Для множества М решений системы ( 1) имеются три возможности:

1) M = Æ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений — не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, — так называемые системы крамеровского типа:

 a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

                                 a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,      (3)

                                  …     …     …     …     …     …

                                 a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +… + a_nn x_n = b_n.

Системы (3) решаются одним из следующих способов:

1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;

2) по формулам Крамера;

3) матричным методом.

Пример 1. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

                                         5x₁ —   x₂ + 2x₃ +  x₄  = 7,

                                         2x₁ +  x₂ + 4x₃ —  2x₄ = 1,

                                           x₁ — 3x₂ —  6x₃ + 5x₄ = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

2. Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

                                           x +  y — 3z = 2,

                                         3x — 2y +  z = — 1,

                                         2x +  y — 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

1. Матричный метод
2. Системы линейных уравнений общего вида

1. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (3) совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 4. Решить матричным способом систему уравнений

                                           x₁ — x₂ +  x₃ = 6,

                                         2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

                                           x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

2. Системы линейных уравнений общего вида

Если система (1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности — a) r = n;
б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x _r+1, x _r+2,…, x_n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

     a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1r x_r = b₁ — a₁,_r+1 x_r+1 -… — a_1nx_n,

                  a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2r x_r = b₂ — a₂,_r+1 x_r+1 -… — a_2nx_n,

                   …     …     …     …     …     …     …     …     …     …

                  a_r1 x₁ + a_r2 x₂ +… + a_rr x_r = b_r — a_r,_r+1 x_r+1 -… — a_rnx_n.

Ее можно решить относительно x₁, x₂,…, x_r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x₁, x₂,…, x_r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (1) называется однородной, если все b_i = 0, т. е. она имеет вид:

                                a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = 0,

                                a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = 0,                              (5)

                                 …     …     …     …     …     …

                                a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +… + a_mn x_n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно — система (5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x₁ = x₂ =… = x_n = 0. Пусть матрица А системы (5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Поскольку определитель при неизвестных x₁ и x₂отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

                                         x₁ + x₂ =   2x₃ +   x₄ — x₅ + 1,

                                            — 4x₂ = — 7x₃ — 7x₄ + 1,

откуда x₂ = 7/4 x₃ + 7/4 x₄ -1/4, x₁ = 1/4 x₃ -3/4 x₄ — x₅ + 5/4 — общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x₃, x₄, x₅конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x₃ = x₄ = x₅ = 0 x₁= 5/4, x₂ = — 1/4. Вектор C(5/4, — 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.